"Известия РАН: физика атмосферы и океана", т.34, стр.153, 1999

   МОДЕЛЬ ДИНАМИКИ КРОМКИ ЛЕДЯНОГО ПОЛЯ ПРИ ВОЗДЕЙСТВИИ ГОРИЗОНТАЛЬНОЙ НАГРУЗКОЙ 

Сергей Сипаров

Академия Гражданской Авиации, Кафедра физики, Россия, 196210, Санкт-Петербург, ул. Пилотов, 38

Построена модель динамики кромки ледяного поля при воздействии горизонтальной нагрузкой, учитывающая наблюдаемый на практике автоколебательный характер движения кромки, а также вязкие свойства льда и системы “вода+мелкокрошенный лед”. Получены соотношения между величиной силы, приводящей к торошению, (или соответствующей скорости относительного движения ледяного поля и препятствия) и механическими и геометрическими параметрами поля.

УДК 551.326.1

1. Введение

Рассмотрим взаимодействие двух ледяных полей, прижимаемых друг к другу в горизонтальной плоскости такими природными факторами, как течение или ветер, или взаимодействие поля и препятствия (гидротехнического сооружения, судна). При достаточной нагрузке может произойти разрушение поля. Изучение этого явления сводится к измерению временных зависимостей напряжений во льду, наклонов и смещений прилегающих к кромке участков полей и анализу сейсмометрических данных. Можно выделить два типа разрушения ледяного поля: разлом (разрушение происходит вдали от кромки) и торошение (разрушение происходит в непосредственной близости от кромки). В данной работе будет рассматриваться лишь второй тип разрушения.

Результаты многочисленных полевых измерений указывают на автоколебательный характер поведения кромки ледяного поля при воздействии, приводящем к торошению. Для описания движения кромки ранее использовались некоторые модели. Так в [1] описаны тангенциальные перемещения полей с учетом разницы между коэффициентом трения покоя и коффициентом трения скольжения при движении полей друг относительно друга. Однако, эта модель не привела к описанию автоколебательного режима. Взаимодействие полей в горизонтальном направлении перпендикулярно кромке описывалось путем численного решения задачи о выпучивании вверх пластины на упругом основании (причем место приложения силы считается не перемещающимся по вертикали) вплоть до ее разрушения. Но при таком подходе описывается скорее разлом поля, происходящий вдали от кромки. Для описания динамики кромки построим упрощенную модель, которая позволит выполнить расчет силового воздействия полей друг на друга (а также поля на препятствие) по данным временных зависимостей напряжений или смещений и механическим характеристикам ледяного поля.

2. Построение модели

При формулировке модели в данной работе будем учитывать два обстоятельства. Во-первых, учтем наличие у льда как упругих, так и пластических свойств [2]. А именно, будем считать, что когда нагрузка достаточно велика (деформация достаточна), преодолевается предел текучести, в непосредственной близости от зоны контакта лед начинает течь, и роль играет его вязкость и соответствующий коэффициент внутреннего (вязкого) трения. Для льда, в особенности для поликристаллического ледяного поля, в котором имеется жидкая фаза, а в морских льдах рассол, и которое находится в воде, что обеспечивает (среднюю) температуру, близкую к температуре плавления, этот предел достигается при относительно невысоких напряжениях..

Во-вторых, будем рассматривать разрушение, обусловленное деформацией в плоскости yOz (ось Оz направим вертикально, ось Ox -- вдоль кромки поля, а ось Oy -- вглубь поля), в непосредственной близости от кромки, для чего учтем, что представлениям о торошении не противоречит и наличие вертикальных смещений кромки поля при горизонтальном приложении нагрузки перпендикулярно кромке. Они могут быть обусловлены, например, различной прочностью надводной и подводной частей поля: при горизонтальном сжатии подводная часть плоскости контакта сминается, образуется клин, что приводит к выдавливанию кромки вверх.

Будем считать, что поле имеет толщину h, а его кромка представляет собой отрезок прямой длиной L (L>>h). Соседнее поле или препятствие, (которое мы будем считать абсолютно твердым), примыкает к кромке по всей длине, и его движение, вызывающее перемещение кромки рассматриваемого поля, происходит под углом a к кромке со скоростью v. Тогда горизонтальное воздействие на кромку, приводящее к деформации, будет происходить в двух направлениях -- тангенциальном и нормальном. Тангенциальное воздействие оказывается вдоль линии раздела, т.е. вдоль кромки. Нормальное смещение регулирует силу взаимодействия полей между собой. В обоих случаях естественно выделить в ледяном поле с характерным поперечным размером L₀ участок шириной b (b <<L₀,L) торцом b*h примыкающий к кромке, и рассмотреть его в качестве стержня или балки на упругом основании. В плоскости xOy роль упругого основания играет оставшаяся часть поля, примыкающая к выделенной балке с обеих сторон, так что выражение для коэффициента упругости основания на единицу длины балки будем условно полагать равным удвоенному модулю Юнга льда. А в плоскости yOz коэффициент упругости основания на единицу длины балки обусловлен Архимедовой силой и равен b =r _wbg, где r _w -- плотность воды, g -- ускорение свободного падения.

Начнем с описания тангенциального движения. Выделим объем W=L₁bh, непосредственно примыкающий к кромке. Будем считать, что L₁=L. При тангенциальном движении кромки, вызванным деформирующим воздействием (например, движущимся с постоянной скоростью соседним полем), возникают силы сопротивления, одна из которых соответствует упругости деформируемого ледяного поля, а вторая представляет собой проявление сил вязкого трения, возникающих после прохождения предела текучести. Несколько упрощая ситуацию, можно представить, что движение происходит следующим образом. Тангенциальное смещение передвигает кромку вдоль нее самой, что вызывает возникновение упругой реакции в прилегающих слоях ледяного поля. Нормальное смещение деформирует слои льда, непосредственно примыкающие к линии контакта, до тех пор, пока либо не будет достигнут предел текучести, после чего кромка возвращается в исходное положение под действием упругости, преодолевающей внутреннее (вязкое) трение текущего льда, либо не наступит разрушение (торошение) кромки, что также позволяет упругости вернуть рассматриваемый участок кромки (точнее его x- проекцию) в исходное положение, преодолевая силу гидродинамического сопротивления воды с обломками льда. И в том и в другом случае будем рассматривать возвратное движение малого объема льда, принадлежащего оставшейся части поля, примыкающего к вновь образованной кромке и равного V=bhl, где l -- расстояние, равное характерному расстоянию от первоначального положения кромки до плоскости в которой произошли критические явления. Тогда уравнение движения массы льда, содержащейся в объеме V, можно записать в следующем виде

,                (1)

где . Будем считать k постоянной величиной, связанной с модулем сдвига льда G, k = hG = hE/2(1+h ) (E -- модуль Юнга, h -- коэффициент Пуассона), а коэффициент вязкого трения r(x,y) -- зависящим от смещения кромки поля. Чем большее смещение ледяного материала произошло вдоль кромки (по оси Ox), тем более глубоко (по оси Oy) расположены слои льда, участвующие в возвратном движении после преодоления предела текучести, тем больше эффективный коэффициент внутреннего (вязкого) трения в текущем льде. Этот коэффициент, естественно, не может зависеть от направления смещения вдоль оси Ox. Будем считать, что

                 (2)

где величина x_cr соответствует тангенциальному смещению, приводящему к достижению предела текучести, а величина r₁(y) зависит от механических характеристик льда (а, значит, и от составляющей скорости деформирования). Вводя новые переменные и обозначая , получаем уравнение движения рассматриваемого участка кромки вдоль оси Ox после прохождения предела текучести или после разрушения кромки:

.                     (3)

Это стандартное уравнение Ван-дер-Поля [3], описывающее автоколебательный процесс.

Известно, что зависимость X(t ) определяется значением величины m . При достаточно больших значениях m она имеет выраженный релаксационный характер, с уменьшением m она приближается к синусоидальной. Оба эти случая наблюдаются и на измеряемых в полевых условиях зависимостях напряжений или смещений от времени при торошении ледяных полей различной толщины и происхождения. Это означает, что построенная модель отражает реальные особенности динамики кромки. Поскольку в нашем случае m зависит от параметров модели, можно воспользоваться амплитудно-частотными характеристиками измеренного процесса для получения информации о значении этих параметров. Однако, прежде, чем сделать это, следует установить их физический смысл и явный вид.

3. Расчет величины силы, приводящей к торошению

Обратимся к анализу уравнения (3) в применении к нашей задаче. Сопоставим семейство решений X(t ) уравнения (3) для различных значений m с какой-либо экспериментальной зависимостью смещения кромки от времени x(t), и выберем то из решений, которое отличается от экспериментальной кривой наименьшим образом. Это позволит определить соответствующее значение m для рассматриваемой модели, с помощью которого можно найти эффективный коэффициент вязкого трения, а сама экспериментальная кривая даст, например, значение x_max максимального смещения кромки. (Для определения x_max помимо записей показаний приборов необходимо иметь также схему их расположения на ледяном поле с указанием соответствующих растояний).

С точки зрения практических приложений наиболее важным из неизвестных параметров является горизонтальная сила, действующая на кромку и приводящая к торошению. Для ее расчета понадобятся измеренные значения максимального тангенциального смещения кромки x_max.

У горизонтальной силы, приложенной к кромке, имеется две составляющих, обе из которых могут приводить к автоколебательным движениям, описываемым построенной моделью. В обоих направлениях срыв (быстрая стадия автоколебаний) происходит, когда напряжение в ледяном поле достигает некоторого предельного значения, необязательно одного и того же для каждого из направлений. Действительно, в силу первого из сделанных предположений при описании тангенциальных воздействий на торец выделенной балки Lbh речь может идти о пределе текучести s _t = s _f , в то время как при описании нормального воздействия, когда в силу второго предположения имеет место выдавливание кромки вверх, s _n = s _max , где s _max -- предел прочности льда на изгиб. (При этом для расчета нормальной составляющей горизонтальной силы мы будем сначала искать значение вертикальной силы, выдавливающей кромку вверх). Характерные расстояния l_t и l_n , на которых происходят критические явления, также могут быть различными. О различии модулей упругости “оснований”, на которых находится балка, уже говорилось.

Зависимость напряжения на “верхней” или “нижней” поверхностях рассматриваемой балки от координаты y связана с кривизной R(y) балки обычным образом [4]

s (y) =Ed/2R(y),                         (4)

где

                 (5)

Здесь u принимает значения x или z, (а d соответственно значения b или h) в зависимости от того, в какой плоскости xOy или zOy рассматривается прогиб. А выражение для профиля u(y) балки, лежащей на упругом основании, к концу которой приложена сосредоточенная сила P_u , имеет вид:

                 (6)

В этом соотношении

                 (7)

P_x -- тангенциальная составляющая горизонтальной силы, P_z -- вертикальная сила, выдавливающая кромку вверх. Будем считать кривизну малой для обеих компонент, т.е. знаменатель в формуле для кривизны (5) положим равным единице. Тогда вычисляя вторую производную и подставляя результат в (4), получим

.                     (8)

Найдем значения координаты y, при которых происходят критические явления, считая, что в этих местах напряжения максимальны. Тогда формула (8) дает

                     (9)

С помощью (7) нетрудно убедиться в том, что, как и следовало ожидать, y_mz по порядку величиины совпадает с толщиной поля. (Для оценки y_mx необходимо привлечь дополнительные сведения о силе взаимодействия с препятствием, которые будут приведены ниже). Подставляя формулы (7) и (9) в соотношение (8) и считая, что s _x = s _t = s _f , а s _y = s _n = s _max , получим для критических значений тангенциальной и вертикальной компонент силы на единицу длины кромки следующие выражения

                         (10)

Свободный параметр b в правой части первого из уравнений (10) можно исключить, если воспользоваться данными измерений динамики кромки, например, значением максимального смещения x_max. Подставляя x_max в левую часть соотношения (6), а формулу (9) в правую часть (6), с учетом (7), получим

                     (11)

Выразив b из (11) и подставив его в (10), получим

                     (12)

Чтобы рассчитать силу P_n нормального воздействия на кромку в горизонтальной плоскости, приводящую к торошению, необходимо найти еще угол клина, образующегося при выдавливании кромки вверх. Считая, что его тангенс равен отношению модулей Юнга льда с большой долей жидкой фазы E_iw и льда с малой долей жидкой фазы E_id, получим

P_n = P_z(E_id/ E_iw)                             (13)

Наконец, учитывая длину кромки L, получим окончательные выражения для тангенциальной и нормальной составляющих горизонтальной силы, действующей на кромку и приводящей к ее разрушению

                 (14)

Обычно разрушение поля рассматривается с точки зрения устойчивости полубесконечного стержня (или пластины), лежащего на упругом основании. Если вертикальная координата точки приложения силы не меняет своего значения, и стержень считается упругим, то существует критическое значение силы , при котором происходит потеря устойчивости [4]. Именно это значение обычно используется в инженерных расчетах для определения предельных нагрузок, приводящих к разрушению. Заметим, что в том случае, когда длина стержня достаточно велика или достаточно велик коэффициент упругости основания, критическая сила соответствует ситуации, когда на деформируемом участке укладывается не одна, а много полуволн. При этом

                     (15)

Однако, наличие неупругих деформаций может повлечь за собой [5] потерю устойчивости при нагрузке меньше критической, предсказываемой теорией упругости, да и кроме того рассматривать процессы, связанные с потерей устойчивости, без учета скорости нагружения некорректно [6].

Приведем пример получающихся значений сил, рассчитанных по формулам (14) построенной модели, для ледяных полей различной толщины. Физические постоянные, использованные при расчете, известны недостаточно хорошо и для каждого конкретного случая следует их уточнять. Здесь мы будем считать, что E_id/ E_iw = 20, L = 10 м, E = 8*10³ МПа, s _f = s _m = 10 МПа, x_max = 0.002 м. Получающиеся результаты сведены в следующую таблицу.

Таблица 1

Нетрудно видеть, что при наличии информации о силе взаимодействия поля и препятствия при разрушении можно решать и обратную задачу и использовать рассмотренную модель для определения механических характеристик ледяных полей. Так ее можно положить в основу измерения коэффициента вязкого трения во льду, предела прочности льда, а также измерения эффективного коэффициента вязкости при движении кромки в воде, заполненной мелкодробленным льдом. Последнее представляет интерес также для гидротехнических расчетов ледокольного плавания. Значение константы сопротивления вязкого трения r₁ получим, определив значение параметра m из требования максимального соответствия теоретической и экспериментальной кривых, с помощью введенного соотношения между этими параметрами. Так например, если окажется, что для поля толщиной h = 1м наиболее подходящим значением m является m = 10, то выбирая , получим для коэффициента вязкого трения МН/(м/с).

Как показано в работе [7], между прочностными характеристиками льда и скоростью его деформирования существует определенное соотношение. А именно, отношение максимальной прочности льда на сжатие s _max,0 к скорости деформирования de /dt (связанной со скоростью v преграды, надвигающейся на кромку, de /dt=v/L₀), определяется квадратом продольного размера образца. Полагая, что данные, полученные при испытаниях образцов на одноосное сжатие, можно применять к ледяным полям для получения хотя бы грубых оценок, запишем соотношение из [7] в виде

МПа*c/м² ,                     (16)

где v_cr -- скорость, при которой происходит разрушение.. При скоростях существенно больше или меньше той, что входит в соотношение (16), прочность льда оказывается примерно в два раза меньше максимальной. Если положить L₀ = 100 м, то критическая скорость, соответсвующая, например, s _max,0 = 10 МПа, будет равна м/с. Скорости, встречающиеся на практике, обычно больше, поэтому значение прочности льда, используемые в формулах, следует уменьшить в два раза. Используя (16), можно перейти от оценок для разрушающей силы к оценкам для разрушающей скорости, если известна статистика распределения полей по размерам.

Учитывая форму препятствия, можно с помощью формулы (16) и второго уравнения из соотношений (14) получить приближенное выражение для силы P нормального воздействия ледяного поля на препятствие при торошении в зависимости от скорости их относительного движения в следующем виде

,                     (17)

где интеграл берется в плоскости xOy вдоль границы препятствия C. Для цилиндрического монопода радиусом 10 м, прорезающего ледяное поле с характерным размером 100 м и толщиной 0.5 м, надвигающееся со скоростью 1 м/с, формула (17), полученная с помощью предлагаемой модели, включающей описание автоколебаний, дает P » 63МН.

5. Заключение

Характерной особенностью модели динамики кромки ледяного поля при воздействии на него горизонтальной нагрузкой, построенной в данной работе, является возможность описать с ее помощью автоколебательные движения, наблюдаемые на практике. При этом учитываются не только упругие свойства ледяного поля, но и вязкость льда, либо вязкое сопротивление среды “вода+мелкокрошенный лед”, образующейся при торошении. Сопоставление параметров построенной модели с экспериментальными данными, получаемыми при измерении смещений кромки во время торошения или соответствующих напряжений, позволяет получить как величину силы горизонтального воздействия на кромку ледяного поля, при которой наступает торошение, так и оценку для соответствующей скорости относительного движения поля и препятствия. Это позволяет использовать построенную модель для расчета прочностных параметров гидротехнических сооружений, эксплуатируемых в условиях замерзающих водоемов, а также для определения скоростных режимов ледокольного плавания. И наоборот, построенная модель может служить основой методики для определения механических характеристик ледяных полей.

Литература

[1] -- Smirnov V.N., Korostelev V.G., Stepanov I.V. Physico-mechanical model of self-excited processes by sea ice compacting //Proc., 3d Internat. Offshore and Polar Engineering Conference. Korea.--1993.-- P.175-181.

[2] -- В.В.Богородский, В.П.Гаврило. Лед. Л.Гидрометеоиздат, 1980.

[3] -- М.И.Рабинович, Д.И.Трубецков. Введение в теорию колебаний и волн. М.Наука, 1984, 432 с.

[4] -- С.П.Тимошенко. Курс теории упругости. Киев, “Наукова думка”, 1972.

[5] -- Бойл Дж., Спенс Дж. Анализ напряжений в конструкциях при ползучести. М.”Мир”, 1986.

[6] -- Потапов В.Д. Устойчивость вязкоупругих элементов конструкций. М. “Стройиздат”, 1985.

[7] -- Гладков М.Г., Сипаров С.В. Связь скорости деформации с максимальной прочностью образцов морского льда при одноосном сжатии.// Тр. конф. “Борьба с ледовыми затруднениями на реках и водохранилищах при строительстве и эксплуатации гидротехнических сооружений”, с. 145, Л., “Энергоатомиздат”, 1984.